Пусть rk A обозначает билинейную сложность (также называемую рангом)
умножения в конечномерной ассоциативной алгебре A. Широко
исследуемыми алгебрами с точки зрения их структуры являются алгебры
минимального ранга. Это такие алгебры A, для которых неравенство
Алдера--Штрассена выполняется как равенство, т. е. rkA = 2 dim A -
t, где t -- число максимальных двусторонних идеалов в A. Однако
неравенство Алдера--Штрассена выполняется и для мультипликативной сложности,
которое обобщает понятие билинейной сложности. Аналогично вводится
понятие алгебры минимальной мультипликативной сложности. Из
определения билинейной и мультипликативной сложностей следует, что
любая алгебра минимального ранга является алгеброй минимальной
мультипликативной сложности. Возникает вопрос: верно ли обратное?
Этот вопрос в долгое время оставался открытым. В работе
доказывается, что ответ на данный вопрос положителный, то есть
алгебра A имеет минимальный ранг тогда и только тогда, когда она
имеет минимальную мультипликативную сложность.