Мозаики Пенроуза представляют собой замощения плоскости ромбами двух типов — с углами 72, 108 ("толстые ромбы") и 36, 144 ("тонкие ромбы") — такие, что любые два соседних (т.е. имеющих общую сторону) ромба не образуют вместе параллелограмм. Будет показано, что все такие замощения непериодичны и локально изоморфны друг другу (т.е. любой конечный фрагмент одной мозаики Пенроуза встречается в любой другой). И то, и другое утверждение опирается на свойство "самоподобия" мозаик Пенроуза, а именно, что можно так объединить соседние плитки мозаики, чтобы снова получилась мозаика Пенроуза.

Мозаики Пенроуза обладают следующим замечательным свойством. На каждой из двух плиток можно нарисовать несколько отрезков таким образом, чтобы при выкладывании мозаики концы этих отрезков совмещались и на плоскости образовывалось несколько семейств параллельных прямых линий (эти линии называют полосами Аммана). Будет показано, как это сделать. Далее, оказывается, что расстояния между соседними параллельными прямыми принимают ровно два различных значения, причем для каждого семейства параллельных прямых последовательность этих значений обладает свойством самоподобия.

Можно рассматривать мозаики Пенроуза, имеющие дыры (т.е. покрывающие всю плоскость, за исключением фигуры конечной площади). Естественно спросить, можно ли так увеличить дыру, сняв несколько (конечное число) плиток, после чего замостить непокрытую часть полностью. Будет приведен пример, когда так сделать нельзя. По-видимому, похожие примеры должны существовать и для других "самоподобных" мозаик.